FUNCION OBJETIVO

Función objetivo (método gráfico)

Como expresaba al comienzo del tema, el objetivo de la programación lineal es maximizar o minimizar una función de dos varialbes sujeta a ciertas restricciones.

La función objetivo es la expresión que se desea hacer máxima o mínima.

Tiene una expresión de la forma G(x,y)= mx + ny. Donde m y n son valores reales (con frecuencia enteros).

La expresión mx + ny = k, (con k número real) representa rectas paralelas, donde si k=0, pasa por el origen y cuanto mayor sea k más alejada del origen se encuentra y por tanto mayor será el valor de la función G(x,y). Podemos ver esta situación en el dibujo adjunto:

Para desarrollar lo anterior, vamos a aplicar a una región factible varias funciones objetivos y comentamos la o las posibles soluciones.

Representamos la región factible que limitan las inecuaciones: x≥0, y≥0, x+3y≤15, x+y≤8.

Dibujamos la región factible:

Consideramos inicialmente la función objetivo G(x,y)= x+2y.

Dibujamos sobre el gráfico anterior la recta de ecuación x+2y=0. Y después trazamos varias paralelas a ella, unas hacia arriba, y otras hacia la parte negativa del eje OY. Tenemos :

Se ha dibujado en azul intenso la recta base x+2y=0, y de color negro a trazos discontinuos las paralelas. Observamos como la más alta (la que tiene mayor término independiente), corta y toca como punto más alejado al recinto solución en el vértice F=(4'5, 3'5). Éste sería el vértice donde se alcanza el máximo de la función objetivo G(x,y)=x+2y. Y como el primer punto de corte con el recinto solución es el A=(0,0), éste es el mínimo de la función objetivo en este ejercicio.

En el gráfico siguiente se ha dibujado la misma región factible, con la función objetivo H(x,y)=y-x.

De nuevo se comienza con la representación de la recta y-x=0, que pasa por el origen de coordenadas y se ha dibujado en azul. Trazamos paralelas a ella y encontramos que la que tiene mayor término independiente es la que pasa por el punto B=(0,5) y se alcanza el máximo. Por el contrario en sentido contrario el último punto donde las rectas cortan o tocan al recinto es el el punto D=(8,0), obteniédose en él el mínimo de la función objetivo.

Cuando al dibujar las rectas paralelas de la función objetivo, coincida en un segmento con el recinto solución, Tenemos que el máximo o mínimo (según el caso) es todo el segmento coincidente. Lo vemos en el ejemplo siguiente. Donde la función objetivo es K(x,y)=x+3y.

Observa como la recta paralela a la función objetivo (azul) es coincidente con el recinto solución en el segmento de une los puntos D=(0,5) y F=(4'5,3'5) y representada de color verde. Es por tantotodo el segmento DF la solución al problema planteado.