ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Estadística y Los Conceptos.[editar]

La Estadística es la ciencia que se encarga de recolectar datos de una población o muestra. Los conceptos estadísticos se han trabajado intuitivamente desde la antigüedad, las primeras culturas recopilaban datos poblacionales por medio de censos como los realizados en Egipto por Moisés (según consta la Biblia) y el empadronamiento que fue efectuado por los romanos en Judea.

A partir del siglo XIX , entre otros, con el aporte de Adolphe Quetelet (1796-1874), se crearon diferentes métodos de cálculo de probabilidades para determinar y analizar el tipo de datos que regulan algunos fenómenos.

Lista de conceptos básicos en orden cronológico de estudio[editar]

La siguiente lista en orden cronológico para su estudio, recopila conceptos básicos con los que, todo aquel que se pretenda iniciar en las técnicas Estadísticas, debería estar familiarizado.

• Probabilidad
• Definición de Estadística
• Definición de Descriptiva
• Población
• Estadístico
• Frecuencia Estadística
• Media
• Mediana
• Desviación estándar
• Varianza
• Varianza con probabilidad
• Moda
• Tabla de frecuencias
• Análisis de frecuencia acumulada
• Histograma
• Estadística inferencial
• Encuesta
• Error estadístico
• Variable aleatoria
• Variable estadística
• Análisis de series temporales
• Censo
• Combinatoria
• Diseño experimental
• Distribución binomial
• Distribución normal
• Distribución t
• Grados de libertad
• Muestreo
• Muestra
• Parámetro estadístico
• Prueba de χ²
• Regresión estadística
• Rango

ECUACION CUADRATICA

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización
Por: Melissa Murrias
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera

 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.
 

Ejemplo:
9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x²  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10
 

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
 

Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
 
 
 
 
 
 

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²]

( x +   )   (x  -   ) = 0

 

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8
 
 
 

x + 4 = 0       x – 2 = 0
 
 

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.
 

Completando el Cuadrado:
  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
 

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

x² + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.

Ejemplo:
x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]
 
 

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x²  + 2x + 1 = 9
(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.
                                 Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
 
 

( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

x + 1 =  ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4
 
 

Fórmula Cuadrática:
 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
 
 





Ejemplo:
X² + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8
 
 
 



 

x = -2 ± 6
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

FUNCION CUADRATICA

Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x₁, 0) y (x₂, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x₁, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

Ejemplo 

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x_v = − (−4) / 2 = 2     y_v= 2² − 4· 2 + 3 = −1       

 V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

       

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

FUNCION OBJETIVO

Función objetivo (método gráfico)

Como expresaba al comienzo del tema, el objetivo de la programación lineal es maximizar o minimizar una función de dos varialbes sujeta a ciertas restricciones.

La función objetivo es la expresión que se desea hacer máxima o mínima.

Tiene una expresión de la forma G(x,y)= mx + ny. Donde m y n son valores reales (con frecuencia enteros).

La expresión mx + ny = k, (con k número real) representa rectas paralelas, donde si k=0, pasa por el origen y cuanto mayor sea k más alejada del origen se encuentra y por tanto mayor será el valor de la función G(x,y). Podemos ver esta situación en el dibujo adjunto:

Para desarrollar lo anterior, vamos a aplicar a una región factible varias funciones objetivos y comentamos la o las posibles soluciones.

Representamos la región factible que limitan las inecuaciones: x≥0, y≥0, x+3y≤15, x+y≤8.

Dibujamos la región factible:

Consideramos inicialmente la función objetivo G(x,y)= x+2y.

Dibujamos sobre el gráfico anterior la recta de ecuación x+2y=0. Y después trazamos varias paralelas a ella, unas hacia arriba, y otras hacia la parte negativa del eje OY. Tenemos :

Se ha dibujado en azul intenso la recta base x+2y=0, y de color negro a trazos discontinuos las paralelas. Observamos como la más alta (la que tiene mayor término independiente), corta y toca como punto más alejado al recinto solución en el vértice F=(4'5, 3'5). Éste sería el vértice donde se alcanza el máximo de la función objetivo G(x,y)=x+2y. Y como el primer punto de corte con el recinto solución es el A=(0,0), éste es el mínimo de la función objetivo en este ejercicio.

En el gráfico siguiente se ha dibujado la misma región factible, con la función objetivo H(x,y)=y-x.

De nuevo se comienza con la representación de la recta y-x=0, que pasa por el origen de coordenadas y se ha dibujado en azul. Trazamos paralelas a ella y encontramos que la que tiene mayor término independiente es la que pasa por el punto B=(0,5) y se alcanza el máximo. Por el contrario en sentido contrario el último punto donde las rectas cortan o tocan al recinto es el el punto D=(8,0), obteniédose en él el mínimo de la función objetivo.

Cuando al dibujar las rectas paralelas de la función objetivo, coincida en un segmento con el recinto solución, Tenemos que el máximo o mínimo (según el caso) es todo el segmento coincidente. Lo vemos en el ejemplo siguiente. Donde la función objetivo es K(x,y)=x+3y.

Observa como la recta paralela a la función objetivo (azul) es coincidente con el recinto solución en el segmento de une los puntos D=(0,5) y F=(4'5,3'5) y representada de color verde. Es por tantotodo el segmento DF la solución al problema planteado.

VECTORES

Vector

Para otros usos de este término, véase Vector (desambiguación).

Este artículo trata sobre el concepto físico de vector. Para el tratamiento matemático formal, véase Espacio vectorial.

Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre unarecta.

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).^1 2 3

En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano  o en el espacio .

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial y final del movimiento.

Esquema de un vector como unsegmento de recta entre dos puntos A y B

Índice

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• 1Conceptos fundamentales
  • 1.1Definición
  • 1.2Características de un vector
  • 1.3Magnitudes vectoriales
  • 1.4Notación
  • 1.5Clasificación de vectores
  • 1.6Componentes de un vector
  • 1.7Representación gráfica de los vectores
    • 1.7.1Suma de vectores
    • 1.7.2Producto por un escalar
• 2Operaciones con vectores
  • 2.1Suma de vectores
    • 2.1.1Suma de vectores sobre un mismo punto
    • 2.1.2Método del paralelogramo
    • 2.1.3Método del triángulo o método poligonal
    • 2.1.4Método analítico para la suma y diferencia de vectores
  • 2.2Producto de un vector por un escalar
  • 2.3Producto escalar
  • 2.4Producto vectorial
  • 2.5Derivada ordinaria de un vector
  • 2.6Derivada covariante de un vector
  • 2.7Ángulo entre dos vectores
  • 2.8Descomposiciones de un vector
• 3Cambio de base vectorial
• 4Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales
• 5Véase también
• 6Referencias
• 7Bibliografía
• 8Enlaces externos

Conceptos fundamentales[editar]

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Definición[editar]

Componentes de un vector.

Se llama vector de dimensión  a una tupla de  números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión  se representa como  (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector  perteneciente a un espacio  se representa como:

(left), donde 

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional  ó bidimensional ).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:^1 2 3

• módulo: la longitud del segmento
• dirección: la orientación de la recta
• sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.⁴

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo , que indican su origen y extremo respectivamente.

Características de un vector[editar]

Coordenadas cartesianas.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Si consideramos el triángulo formado por las componentes  (como catetos) y  (como hipotenusa): se puede calcular multiplicando  por el cosα (siendo α el ángulo formado por  y ) o multiplicando  por el senβ (siendo β el ángulo formado por  y ). De igual forma se puede calcular  multiplicando  por el senα o multiplicando  por el cosβ (considerando las posiciones de α y β mencionadas anteriormente).

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Coordenadas tridimensionales.

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.